Kegunaan Pola Bilangan Segitiga Pascal

8 04 2010
  1. Mencari lintasan terpendek dari
    lokasi yang mempunyai banyak percabangan
    Pada gambar di atas tampak ada 56 titik, jika kita menghitung berapa banyak lintasan terpendek dari L19 ke L29, maka ada 3 lintasan terpendek, yaitu:

1. L19-L20-L21-L29

2. L19-L20-L28-L29

3. L19-L27-L28-L29

Dan untuk mengetahui bahwa banyak lintasan terpendek dari L19 ke L29
bahwa ada 3 lintasan, dapat dipergunakan pola bilangan segitiga pascal, pertama kita harus menghitung berapa jarak horizontal dan jarak vertical dari L19 ke L29. Jika kita anggap jarak dari 1 titik ke titik terdekat di sekitarnya adalah 1 garis, maka jarak horizontal dari L19 ke L29 adalah adalah 2 garis, dan jarak vertical dari L19 ke L29 adalah 1 garis, maka banyak lintasan terdekat dari L19 ke L29 adalah koefisien dari bilangan a2b1 atau koefisien dari a1b2 yaitu 3, karena kita tahu bahwa:

(a+b)2+1 = (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Contoh lain, jika kita ingin mencari banyaknya lintasan terpendek dari L27 ke L55, karena jarak horizontalnya 4 dan jarak vertikalnya 3, maka banyak lintasannya adalah bilangan segitiga Pascal yang merupakan koefisien dari a4b3 atau koefisien dari a3b4 yaitu 35 karena kita tahu bahwa:

(a+b)4+3 = (a+b)3+4 = (a+b)7 = 1a7 + 7a6b1 + 21a5b2 + 35a4b3 + 35a3b4 + 21a2b5 + 7a1b6 + 1b7

  1. Mengetahui banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan

Untuk mengetahui banyaknya suatu himpunan bagian seluruhnya
dari suatu himpunan yang anggotanya ada n unsur dapat menggunakan rumus 2n dimana n adalah banyak anggota himpunan. Misalnya jika
kita ingin tahu banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan A = {a,b,c,d}, kita
tahu bahwa banyak anggota dari himpunan A adalah 4, yaitu a,b,c dan d, maka kita
bisa langsung mengetahui banyaknya himpunan bagian dari himpunan A tersebut
dengan dengan rumus 2n = 24 = 16. Himpunan bagiannya
adalah sebagai berikut.

  1. A1 = { }
  2. A2 = {a}
  3. A3 = {b}
  4. A4 = {c}
  5. A5 = {d}
  6. A6 = {a,b}
  7. A7 = {a,c}
  8. A8 = {a,d}
  9. A9 = {b,c}
  10. A10 = {b,d}
  11. A11 = {c,d}
  12. A12 = {a,b,c}
  13. A13 = {a,b,d}
  14. A14 = {a,c,d}
  15. A15 = {b,c,d}
  16. A16 = {a,b,c,d}

Tetapi, bagaimana kalau yang
diminta adalah banyaknya himpunan bagian yang hanya mempunyai 2 unsur?. Nah
untuk persoalan semacam ini pola bilangan segitiga pascal bisa lagi dimanfaatkan,
karena A mempunyai 4 anggota, maka banyaknya himpunan bagian yang hanya memiliki
2 unsur adalah angka pada pola bilangan pascal pada baris ke (4+1) kolom ke
(2+1) atau pola bilangan pascal pada baris ke 5 kolom ke 3 yaitu angka 6, Jadi
banyaknya himpunan bagian yang hanya memiliki 2 unsur adalah sebanyak 6, yaitu:

  1. A6 = {a,b}
  2. A7 = {a,c}
  3. A8 = {a,d}
  4. A9 = {b,c}
  5. A10 = {b,d}
  6. A11 = {c,d}

Dari uraian di atas, dapat
dibuat prumuman, untuk mencari himpunan bagian dari n anggota yang hanya
mempunyai k unsur, yaitu angka pada pola bilangan segitiga pascal pada baris ke
(n+1) kolom ke (k+1)

  1. Mengetahui besarnya peluang
    suatu kejadian dari pelemparan beberapa mata uang.

Dalam menentukan banyaknya
peluang dari pelemparan beberapa mata uang (dimana sisi mata uang ada dua, yaitu
sisi Angka dan sisi Gambar), kita harus membuat tabel data yang menunjukkan
beberapa kemungkinan kejadian. Semakin banyak mata uang yang digunakan, akan
semakin banyak pula datanya seperti yang terlihat pada tabel-tabel berikut :

  • Kemungkinan darii 1 mata uang
    (Picture1)
  • Kemungkinan darii 2 mata uang
    (picture 2)
  • Kemungkinan dari 3 mata uang
    (picture 3)

Jika ada 4 mata uang yang digunakan, maka akan diperoleh
kemungkinan yang jumlah datanya sama dengan bilangan pada Segitiga Pascal baris
ke-5 sebagai berikut :

kemungkinan A seluruhnya adalah : 1

kemungkinan 3A dan 1G adalah : 4

kemungkinan 2A dan 2G adalah : 6

kemungkinan 1A dan 3G adalah : 4

kemungkinan G seluruhnya adalah : 1

Dengan menggunakan Segitiga Pascal dapat mempermudah menjawab
persoalan teori kemungkinan. Sebagai contoh : tentukan banyaknya kemungkinan
pelemparan 4 mata uang yang diharapkan terbukanya 3A dan 1G. Penyelesaiannya
dapat dilakukan dengan mudah dan cepat yaitu melihat baris ke-5 dari segitiga
Pascal. Banyaknya kemungkinan dengan terbukanya 3A dan 1G adalah 4 kemungkinan,
karena 4 merupakan koefisien dari a3b1, karena kita tahu
bahwa:

(a+b)5 = 1a5 + 4a4b + 6a3b2 + 4ab4 + 1b5

dan banyak seluruh kemungkinan adalah 24 = 16

sehingga kita dapat megetahui bahwa peluang munculnya 3 Angka
dan 1 Gambar adalah 4/16 = ΒΌ

Contoh lain, tentukan banyaknya kemungkinan
pelemparan 7 mata uang yang diharapkan terbukanya 5A dan 2G. Penyelesaiannya
dapat dilakukan dengan mudah dan cepat yaitu melihat baris ke-8 dari segitiga
Pascal. Banyaknya kemungkinan dengan terbukanya 5A dn 2G adalah 21 kemungkinan,
dan banyak seluruh kemungkinan adalah 27 = 128

Jadi peluang munculnya 5 Angka dan 2 Gambar adalah
21/128


Aksi

Information

2 responses

22 12 2011
zholieh

Wah ternyata banyak juga ya kegunaan segitiga pascal, gambar yang lintasan kok gk muncul, ato cuma aq ja yang loadingnya lum selse?

31 01 2012
harwandi09

iya emang banyak kegunaannya,,,,
tp sya kurang ngrti jga sihhh….
maklum tulisan yg satu ini hasil copas!
cma buat menuhin tugas dari dosen…
tapi lain kali sya coba bikin tulisan sendiri deh,,, hehehe…

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s




Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: